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じゃんけんの法則 ジャンケンにおける「ゲーム理論」

Aがグーを出す確率をx(0≦x≦1)、Bがグーを出す確率をy(0≦y≦1)とする。1回のじゃんけんにおけるAの得点期待値をα、Bの得点期待値をβとすると、

α=0×A・Bともグーを出す確率+3×Aがグー・Bがパーの確率+3×Aがパー・Bがグーの確率+0×Aがパー・Bがパーの確率

=3×x×(1-y)+3×(1-x)×y

β=6×A・Bともグーを出す確率+0×Aがグー・Bがパーの確率+0×Aがパー・Bがグーの確率+1×Aがパー・Bがパーの確率

=6×x×y+1×(1―x)×(1―y)

である。ここでα=β、すなわちAとBが互角になる状況とはどのようなときであろうか。式を変形していくと、以下のようになる。

ここで復習であるが、面積12平方センチの長方形について、たてをxcm、横をycmとすると、

xy=12

という式が成り立つ。これはxとyが反比例していることを示し、xとyが正の範囲でそのグラフを描くと、図1のような双曲線になる。

そこで、表1から導いた式

のグラフは、xy座標平面上で

のグラフをx軸の正の方向に4/13、y軸の正の方向に4/13、それぞれ平行移動させた図2のような双曲線になる。ここで、確率は0以上1以下であるから、0≦x≦1、0≦y≦1となることに留意しよう。

グラフを説明すると、4点(0、0)(1、0)(1、1)(0、1)で囲まれた正方形の部分において、AとBが互角になるのは双曲線上、ということである。

ここで、点(1、0)(0、1)が何を意味するか考えよう。表2の2段目と3段目のケースだ。明らかにAが有利である。一方、点(0、0)(1、1)は表2の1段目と4段目に当たり、Bが有利である。それゆえ、双曲線に挟まれた部分ではAが有利となり、双曲線の外側ではBが有利となる。

引用元: どちらが有利? じゃんけんで学ぶ「ゲーム理論」  :日本経済新聞.

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