囚人のジレンマとシャープレイ値 #ナッシュ均衡 : KNN KandaNewsNetwork 4knn.tv

■『意思決定理論』

『ゲーム理論』
複数の意思決定者が存在する状況においての意思決定の理論
結果は『他の意思決定者の選択に依存する』ゲーム的状況。
何が一番有利かを考える。

２つのゲーム理論

１　非協力ゲーム理論　各主体が独自に行動を決定　→囚人のジレンマ（ナッシュ均衡　ジョン・フォーブス・ナッシュ）
２　協力ゲーム理論　各主体が合意に基づき契約　

『囚人のジレンマ』

米ランド研究所　が、ゲーム理論の研究結果をわかりやすいストーリーを考えたのが『囚人のジレンマ』で、『非協力ゲーム理論』の代表例

ランド研究所　RAND Coporation *RAND/Research ANd Development
映画『ペンタゴン・ペーパーズ』『博士の異常な愛情』

■容疑者A　と　容疑者B　が別室で取り調べ中
１　ふたりとも黙秘ならば　それぞれ懲役２年
２　ふたりとも自白ならば　それぞれ懲役10年
３　ひとりが黙秘　もうひとりが自白ならば
　　黙秘　懲役15年　自白懲役１年
という『大前提ルール』

囚人のジレンマは、非協力ゲーム理論の代表的な例。最適解は、ふたりの容疑者が互いに協力し合うこと。しかし、このゲームの特殊性により、個々の最善手を選んだ場合、結果としてはお互いが自己利益を追求した結果、両者が不利になってしまう。

具体的に言えば、両者が黙秘を選択すれば、それぞれの刑期は2年になる。一方、両者が自白を選択すれば、それぞれの刑期は10年になる。しかしここで一方が自白し、もう一方が黙秘する場合、自白した容疑者は懲役1年、黙秘した容疑者は懲役15年となる特殊なルールがある。

最も有利な結果は、お互いが協力し、つまり黙秘を選択することだ。しかし、このゲームは信頼関係の欠如と自己利益追求のジレンマを表しているため、個々の最善手を選んだ場合、この最適な結果には到達できない。

このように、囚人のジレンマは意思決定理論の興味深い例であり、協力と利他的な行動の重要性を示している。

容疑者は、二人とも『自白』を選び10年の刑をえらばざるをえなくなった。
ひとりだけが『黙秘』すると『15年』の刑期になるからだ。
本当は二人とも『黙秘』をすると2年になるからだ。

この『囚人のジレンマ』をふたりとも理解していれば、意思決定は『黙秘』が正解であるが、自分だけが自白すると1年。しかし、黙秘をすると15年というリスクがあるのでより短い安全な『期待値』である10年をふたりとも選択してしまうというゲーム理論だ。

『シャープレイ値』とは？

シャープレイ値は、その名前を提唱者であるアメリカの数学者・経済学者Lloyd Shapley（ロイド・シャープレイ）の名前から取っています。1953年に彼が提唱したこの概念は、協力ゲーム理論（コープラティブゲーム理論）において、各プレイヤーの寄与を評価し、ゲーム全体の価値（利益またはコスト）を公平に分配する方法を提供します。

シャープレイ値はその役割により、多くの経済学的状況やビジネスのコンテクスト（企業合併、供給鎖管理、コスト配分等）において重要な意味を持ちます。また、その貢献は2012年にLloyd Shapleyがノーベル経済学賞を共同受賞する一因となりました。

『囚人のジレンマ』を提唱した『ランド研究所』に1954年～1981年に27年間、勤める。

シャープレイ値の具体的な事例として、3人での協力ゲームを考えてみましょう。参加者がA、B、Cの3人で、それぞれがゲームに貢献できる価値が異なるとします。例えば、以下のようなケースを考えます。

Aだけが協力すると、価値は300を生み出します。
Bだけが協力すると、価値は200を生み出します。
Cだけが協力すると、価値は100を生み出します。
AとBが協力すると、価値は500を生み出します。
AとCが協力すると、価値は400を生み出します。
BとCが協力すると、価値は300を生み出します。
A、B、C全員が協力すると、価値は600を生み出します。

この場合、シャープレイ値を計算すると以下のようになります。

まず、Aのシャープレイ値を計算します。Aが単独で協力した場合の価値(300)と、他のプレーヤーと共に協力した場合の価値（AとBが協力した場合の価値500、AとCが協力した場合の価値400、全員が協力した場合の価値600）との差を計算し、それぞれのケースの確率（可能な連携の組み合わせ数の逆数）で平均化します。

具体的には、